Иосиф Кошелевич родился в 1949 году. Окончил Высшее театральное училище им. М. Щепкина. Помимо Александринского театра, биография Иосифа Иосифовича связана с Минским академическим театром драмы им. Янки Купалы, где он начинал свою карьеру, и с Русским драматическим театром имени Самеда Вургуна в Баку, которому он посвятил 16 лет своей творческой биографии и стал одним из ведущих актеров. В труппу Государственного академического театра драмы им. А. С. Пушкина Иосиф Кошелевич был принят в 1989 году уже зрелым мастером.

В Александринском театре артист сыграл посла Батыя в «Александре Невском» В. Белова (1990), Сэра Роберта Вильсона в «Фельдмаршале Кутузове» В. Соловьева (занят с 1990). Яркими сценическими работами стали роли в спектаклях Андрея Могучего: Липпанченко в спектакле по роману Андрея Белого «Петербург» (2005) и Антона Прокофьевича Пупопуза в спектакле «Иваны» (2007) по «Повести о том, как поссорился Иван Иванович с Иваном Никифоровичем», а также Петрушина в спектакле «Живой труп» (2006) Валерия Фокина по пьесе Льва Толстого. В последние годы был занят в спектаклях «Ксения. История любви», «Гамлет», «Счастье», «Маскарад. Воспоминания будущего» и других.

Телезрителям артист известен по ролям в популярных фильмах и сериалах «Улицы разбитых фонарей», «Убойная сила», «Комедия строгого режима», «Империя под ударом», «Брежнев», «Опера», «Невский», «Литейный».

О кончине артиста скорбит вся Россия, о трагическом событии пишут средства массовой информации и зрители из разных уголков страны.