Иван Волков родился 14 августа 1974 года в Ленинграде. В 1997 году окончил в Москве актерский факультет ГИТИСа (мастерская А. Бородина). В том же году вместе с Николаем Рощиным создал творческую группу, которая стала впоследствии театром под названием «Московский театр «А.Р.Т.О.» (Актерское Режиссерское Театральное Общество).
Иван Волков с 1997 по 2001 годы являлся актером театра клоунады Вячеслава Полунина, затем до 2006 года служил в московском театре «Современник». В 2020 году принят в труппу Александринского театра.
Одной из значимых ролей в Александринке для актера стала роль Сирано де Бержерака в спектакле Николая Рощина. За исполнение этой роли он был номинирован на Высшую театральную премию Санкт-Петербурга «Золотой софит» (номинация «Лучшая мужская роль») и Российскую национальную театральную премию «Золотая маска» (номинация «Лучшая мужская роль»), а уже в 2020-м стал лауреатом «Золотой маски».
В 2021 году сыграл главную роль Павла Протасова в спектакле Николая Рощина «Дети солнца». За исполнение этой роли номинирован на «Золотой софит». В 2022 году исполнил роль императора Александра II в спектакле Валерия Фокина «Один восемь восемь один». И снова был номинирован на Российскую национальную театральную премию «Золотая Маска» («Мужская роль второго плана»). Успешной работой стала и роль Яго в спектакле Николая Рощина «Отелло» (2022), который поразил зрителей и профессионалов трактовкой и точным рисунком, представив не просто мстительного самовлюбленного карьериста, но отравленного жаждой власти маленького фюрера.
Театральные критики говорят о Волкове как об актере, который способен «влезть в личину другого человека», представляя каждый раз нового неожиданного себя – творца неординарных художественных образов, становящихся событиями современного российского театра.
Иван Волков также пишет музыку и является автором звукового оформления спектаклей театра: «Старая женщина высиживает», «Ворон», «Убийство Жан-Поля Марата, представленное труппой психиатрической лечебницы по руководством господина де Сада», «Баня», «Сирано де Бержерак», «Дети у власти», «Маяковский. Баня», «Дети солнца», «Отелло», «Мейерхольд. Чужой театр». Его музыка звучит также в таких фильмах, как «Игра в модерн», «Дура», «Большая игра» и других.