Алексей Араштаев родился 18 августа 1949 года в поселке Чаа-Холь Тувинской АССР. Начиная с 1968 года и до смерти в 2000-м году, служил в Хакасском национальном драматическом театре имени А. Топанова.
Творческий путь начал артистом вспомогательного состава. В 1972-м окончил Красноярское училище искусств (ныне Красноярский колледж искусств имени П. И. Иванова-Радкевича) по специальности «артист театра и кино».
Алексей Афанасьевич был незаурядным артистом. Исполненные им роли в спектаклях по национальной, русской и мировой драматургии, среди которых «Чили – боль моя» (Г. Боровик, 1974), «Старший сын» (А. Вампилов, 1975), «Иван Грозный» (А. Толстой, 1979), «Одураченный Хорхло» (А. Топанов, 1981), «Сас тойы» (А. Кызласова, 1989), «Абахай Пахта» (А. Чапрай, 1990), «Любишь не любишь» (Ф. Буляков, 1994), вошли в золотой фонд национального театра.
Его называют одним из лучших актеров в истории Хакасского национального театра.
Вершиной его творчества стала роль Сократа в спектакле «Последняя ночь Сократа» (С. Цанев, 1996), а последним он воплотил образ Графа Манчини в спектакле «Тот, кто получает пощечины» (Л. Андреев, 1998).
Любители кино помнят Алексея Араштаева по работам в кинофильмах «Подснежники» (Казахфильм, 1974), «Последний год беркута» (Свердловская киностудия, 1977), «Против течения», (1981), «Не ставьте лешему капканы» (киностудия имени М. Горького, 1981), «Потомок белой волчицы» (Казахфильм, 1983), «Пока не ступлю на мягкую траву» (Казахфильм, 1987).