Юрий Алексеев родился 26 августа 1949 года в деревне Большой Шоръял (Кугу Шоръял) ныне Моркинского района Республики Марий Эл. После окончания школы недолгое время работал актером вспомогательного состава Театра им. М. Шкетана, актером-кукловодом Республиканского театра кукол. В 1968-1969 годах учился в Республиканском культурно-просветительном училище. В 1974-м, после окончания курса профессора П. В. Лесли (II национальная студия) актерского отделения ГИТИСа был принят в труппу Марийского драматического театра им. М. Шкетана.
С первых его шагов на сцене об актере стали говорить как о мастере тонкого психологического рисунка. В его репертуаре множество ролей, среди которых комиссар Кужнуров (С. Николаев «Комиссарын чапше» / «Честь комиссара», 1974), музыкант Стапан Микале (М. Рыбаков «Морко сем» / «Моркинские напевы», 1975), Григорий Карамасов (А. Асаев «Ӱжара мурызо» / «Певец зари», 1978), Мачук (М. Шкетан «Ачийжат-авийжат!..» / «Эх, родители!..», 1981), Мичи (С. Чавайн «Мӱкш отар» / «Пасека», 1988), Янгелде (С. Николаев «Айвика», 1982), Алексей (Вс. Вишневский «Оптимистическая трагедия», 1980), Эдгар (В. Шекспир «Лир кугыжа» / «Король Лир», 1984), Михаил (В. Распутин «Пытартыш кече» / «Последний срок», 1987), Пашка (Вяч. Абукаев-Эмгак «Ушкал йомын огыл» / «Корова не потерялась», 1985), бывший шабашник Атлашкин и сумасшедший философ Плутарх в пьесах М. Рыбакова «Оза вате» («Хозяйка», 1986) и «Мокмыр» («Похмелье», 1990) и многие другие.
В сентябре 1991 года Юрий Алексеев был назначен директором Марийского ТЮЗа и совмещал административную и творческую деятельность, выходя на сцену в спектаклях театра.
В сентябре 1992 года Юрий Алексеев стал директором Республиканского театра кукол, а с января 1993-го — стал консультантом по вопросам культуры и искусства в Правительстве Марий Эл и более 10-ти лет провел на этом посту.
Актер и театральный деятель делился опытом и выпустил не один курс молодых актеров на театральном отделении Марийского республиканского колледжа культуры и искусств.
В 2010 году Юрий Алексеев вернулся в труппу Марийского национального театра. Несмотря на почтенный возраст, актер продолжает играть и выходит на сцену в спектаклях Театра им. Шкетана и Театра юного зрителя. Недавно Юрий Алексеев принял участие в кинопроекте Андрея Огородникова «Евсеев. Признание ценою в жизнь» и короткометражном фильме Дениса Шаблия «Чоткар».
«Глядя на вас, понимаешь: жизненная активность, сила духа и позитивный настрой помогают сохранить молодость и задорный блеск в глазах. Желаем вам крепчайшего здоровья, радости и хороших людей вокруг», — поздравляют коллеги юбиляра.